13 排队论
1. 背景知识
1.1 Notation
- 肯德尔记号 (Kendall):输入分布/输出分布/并联服务台数()
1971 年,国际排队符号标准会上扩展至六项,记为 ():
1 | 输入分布/输出分布/并联服务台数/系统容量(队长)/系统状态(顾客源数)/服务规则 |
e.g.
- 泊松流
- 负指数分布
PDF:
CDF:
- 爱尔朗分布
设 是 个相互独立的随机变量,服从相同参数 的负指数分布,那么:
PDF:
1.2 级数展开
基本幂级数
\begin{align*} e^x &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n, &-\infty < x < +\infty \\ \sin x &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}, &-\infty < x < +\infty \\ \frac{1}{1 + x} &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, &-1 < x < +1 \\ \end{align*}
- 推广
\begin{align*} \cos x &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n }, &-\infty < x < +\infty \\ \frac{1}{1 + x^2} &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, &-1 < x < +1 \\ \ln(1+x) &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} , &-1 < x < +1 \\ a^x = e^{x ln a} &= \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n, &-\infty < x< +\infty \\ \arctan x&= \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} , &-1 \leq x \leq +1 \\ \end{align*}
泰勒展开
拓展:麦克劳林公式
\begin{align*} e^x &= 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \cdots + \frac{1}{n!} x^n + o(x^n) \\ \sin x &= x - \frac{1}{3!} x^3 + \cdots + \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!} x^{2m-1} + o(x^{2m-1}) \\ \cos x &= 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \cdots + \frac{(-1)^{m}}{(2m)!} x^{2m} + o(x^{2m}) \\ \ln (1+x) &= x - \frac{1}{2} x^2 + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} + o(x^{n}) \\ \end{align*}
佩亚诺余项为 的高阶无穷小:
1.2 运行指标
排队系统运行指标间的关系:
- :单位时间内顾客的平均到达数,则 表示向量两个顾客到达的平均时间;
- :单位时间内被服务完毕离去的 平均顾客数, 表示对每个顾客的 平均服务时间
- :服务系统中并联的服务台数
- :时刻 系统中恰有 个顾客的概率。
排队系统中运行指标之间的关系:
\begin{align} L_s & = \lambda W_s &\quad W_s & =\frac{L_s}{\lambda} \\ L_q & = \lambda W_q &\quad W_q & =\frac{L_q}{\lambda} \\ L_s & = L_q + \frac{\lambda}{\mu} &\quad W_s & =W_q + \frac{1}{\mu} \\ L_s & = \sum\limits_{n=0}^\infty n P_n &\quad W_q & =W_s -\frac{1}{\mu}=\frac{\rho}{\mu-\lambda} \\ L_q & = \sum\limits_{n=0}^\infty (n-s)P_n =\frac{\rho \lambda }{\mu-\lambda} \end{align}
\begin{align} P_0 &= 1-\rho \\ P_n &=\rho^n P_0 \\ L_s & =\sum\limits_{n=0}^\infty n P_n = \rho(1-\rho)\left( \frac{1}{1-\rho}\right)^\prime = \frac{\rho}{1-\rho} = \frac{\lambda}{\mu-\lambda} \\ W_s & =\frac{L_s}{\lambda} \\ L_q & = L_s -\frac{1}{\mu} \\ W_q & = \frac{L_1}{\lambda} \\ \end{align}
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